Оценка приемлемости и погрешности применения спектральных разложений в задачах динамики нелинейных многомерных систем

Как правило, реальные элементы конструкций обладают различными нелинейными свойствами, наиболее существенно проявляющимися при интенсивных динамических процессах. Отклонение механических характеристик от линейных, принятых в идеализированных моделях, для которых осуществляется решение проблемы собственных значений, может привести к неприемлемым погрешностям расчетов или даже сделать результаты абсолютно неверными. По этой причине остается открытым вопрос точности и правомерности использования линейных моделей и обусловленных ими методов, основанных на применении решения проблем собственных значений. Цель работы - проанализировать погрешности, возникающие при использовании спектральных методов в условиях «наилучших» приближений нелинейных характеристик линейными зависимостями, полученными на основе среднеквадратичных аппроксимаций, исключающими излишние сомнения в формировании результатов. Рассматривалась динамическая модель в виде без-опорной балки с двумя сосредоточенными массами, совершающими колебания в направлениях, перпендикулярных оси жесткости. Для линейной модели произведена оценка точности аппроксимации исходной нелинейной жесткости путем сравнения амплитудных значений перемещения и скоростей системы при линеаризованной и исходной жесткости. Также рассмотрено сравнение вышеуказанного способа линеаризации с линеаризацией по нулевой первой производной нелинейной жесткостной функции. Полученные расхождения в результате являются функциями начальных условий. Предельные значения отклонений в точке максимума функции, описывающей нелинейность жесткости, составили для метода среднеквадратичных отклонений 2,02 %, для метода нулевой первой производной - 10,55 %. Полученные результаты требуют уточнения в отношении конструктивных систем, применяющихся в строительной практике.

1. Балтина А. М. Оценка эффективности расходов государственных (муниципальных) учреждений // Финансы и кредит. 2011. № 13 (445). С. 57-62.

2. Суюмбаев Х. У., Ногеров И. А., Шогенов Б. В., Макшаева М. И. Оценка надежности оборудования АЭС в рамках линейно-спектральной теории сейсмостойкости // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2-1. C. 172.

3. Beléndez A, Beléndez T, Martínez FS, Pascual C, Álvarez ML, Arribas E. Exact solution for the unforced Duffing oscillator with cubic and quintic nonlinearities // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 86. p. 1687-1700. https://doi.org/10.1007/s11071-016-2986-8.

4. Kovacic I., Brennan M. J. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. John Wiley and Sons, 2011. 392 p.

5. Beléndez A, Hernández A, Beléndez T, Pascual C, Álvarez ML, Arribas E. Solutions for Conservative Nonlinear Oscillators Using an Approximate Method Based on Chebyshev Series Expansion of the Restoring Force // Acta Physica Polonica A. 2016. Vol. 130 (3). p. 667-678. https://doi.org/10.12693/APhysPolA.130.667.

6. Elías-Zúñiga A. “Quintication” method to obtain approximate analytical solutions of non-linear oscillators // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 243. p. 849-855. https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.05.085.

7. Соболев В. И., Гаскин В. В., Снитко А. Н. Динамика и сейсмостойкость зданий и сооружений. Часть 1: Многоэтажные здания. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1992. 216 с.

8. Петров В. В., Кривошейн И. В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала. М.: АСВ, 2009. 206 с.

9. Соболев В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. Иркутск: Изд-во Иркутского государственного технического университета, 2002. 202 с.

10. Biryukov V. N., Semernik I. V. Testing of oscillating circuits ODE solving methods // Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW). 2017. p. 268-271. https://doi.org/10.1109/RSEMW.2017.8103646.

11. Рутман Ю. Л., Островская Н. В. Динамика сооружений: сейсмостойкость, сейсмозащита, ветровые нагрузки. СПб.: СПбГАСУ, 2019. 253 c.